La vitesse du fugitif : erreur dans la réponse attendue
Bonjour !
Ce post est juste l'occasion pour moi de faire mon nerd en proposant une stratégie donnant une meilleure solution que celle attendu. Faites-en ce que vous voulez.
>!La réponse attendue est 1/pi ce qui correspond à ce que le nageur parte en ligne droite depuis le centre avec le chien à l'extrémité opposée devant ainsi faire un demi tour complet.!<
>!Cependant, il est possible de faire mieux avec la stratégie suivante : !<
>! - La vitesse de rotation autour du centre du lac est V/R pour le chien (V sa vitesse et R le rayon du lac) et celle du nageur v/r (v sa vitesse) lorsqu'il se situe à une distance r du centre ;!<
>! - Donc tant que le nageur se situe en dessous du rayon critique r_c = aR (avec a=v/V le rapport de vitesse entre le nageur et le chien) il tourne plus vite que le chien autour du centre du lac ; !<
>! - Il peut donc se placer a un rayon r (plus petit que r_c) et faire des tours du lac jusqu'à ce que le chien soit exactement à l'opposé de lui par rapport au centre du lac ; !<
>! - A ce moment là il part tout droit et a donc une distance plus faible a parcourir que dans la situation attendue par l'énigme. Dans le cas limite où il part de r=r_c le rapport de vitesse minimale répondant à la question est 1/(1+pi).!<
>!Remarques : !<
>! - Le nageur ne peut pas se placer en r=r_c mais il peut, avec suffisamment de tours, être aussi proche qu'il le souhaite de r_c ;!<
>! - On peut encore améliorer cette stratégie si au lieu de partir en ligne droite depuis le rayon r_c, le nageur fait une trajectoire en spirale logarithmique. J'ai peut être fait une erreur de calcul mais il semblerait que la rapport minimal soit alors de l'ordre de 0.033 (quasiment 10 fois moins que 1/pi)!<