u/PsychologyPurple725

I am trying to solve the following problem:

Let f be a differentiable function on [0,1] such that f(0)=0 and f(1)=1. Prove that there exist two distinct numbers a,b in (0,1) such that

f'(a)f'(b)=1

By the Mean Value Theorem, I know that there exists some c in (0,1) such that

f'(c)=1

since

(f(1)-f(0))/(1-0)=1

But I do not know how to prove that there exists another point d different from c in (0,1) such that

f'(d)=1

Any hints or ideas?

I am trying to solve the following problem:

Let f be a differentiable function on [0,1] such that f(0)=0 and f(1)=1. Prove that there exist two distinct numbers a,b in (0,1) such that

f'(a)f'(b)=1

By the Mean Value Theorem, I know that there exists some c in (0,1) such that

f'(c)=1

since

(f(1)-f(0))/(1-0)=1

But I do not know how to prove that there exists another point d different from c in (0,1) such that

f'(d)=1

Any hints or ideas?

I am trying to solve the following problem:

Let f be a differentiable function on [0,1] such that f(0)=0 and f(1)=1. Prove that there exist two distinct numbers a,b in (0,1) such that

f'(a)f'(b)=1

By the Mean Value Theorem, I know that there exists some c in (0,1) such that

f'(c)=1

since

(f(1)-f(0))/(1-0)=1

But I do not know how to prove that there exists another point d different from c in (0,1) such that

f'(d)=1

Any hints or ideas?

Sea f una función derivable en el intervalo [0,1] tal que f(0)=0 y f(1)=1. Demuestre que existen dos números distintos a, b que pertenecen a (0,1) tales que f'(a)f'(b)=1.

Pensé en aplicar el teorema del valor medio, este me garantiza que existe al menos un valor c en (a,b) tal que f'(c)=1. Pero no sé como demostrar que existe un valor distinto de c para el que la derivada de f en dicho valor también sea 1

Quería preguntar si alguien sabe qué está pasando con Fundación UNO y sus programas educativos en Nicaragua. ‎ ‎Para quienes no los conocen: Fundación UNO ha estado detrás de varios programas educativos bastante conocidos en el país, como: ‎ ‎- CODE CS50 / Code-FU (programación y ciencias de la computación, curso basado en el de CS50 de Harvard) ‎- Academia Sabatina Jóvenes Talento (matemática de olimpiadas para niños de quinto y sexto grado y para secundaria) ‎- Portal de Matemática (curso de matemática preuniversitaria para estudiantes de quinto año) ‎Estos programas se desarrollan (o desarrollaban) en la UNI. ‎ ‎Yo fui estudiante de CODE CS50 en 2024 (aunque por motivos personales no pude terminar), y recuerdo que la página de Facebook era bastante activa. Normalmente hacían dos convocatorias al año: una al inicio y otra a mediados. Pero el año pasado solo vi una convocatoria y fue hasta mayo. Este año ya estamos a 15 de mayo y no han publicado nada. ‎ ‎También he estado pendiente de la Academia Sabatina de Jóvenes Talento porque quería que mi hermanita aplicara. Antes las matrículas eran a inicios de año; el año pasado se retrasaron hasta abril, y este año tampoco he visto convocatorias ni publicaciones relacionadas. ‎ ‎Con Portal de Matemática no estoy tan informado, pero igual he notado mucha menos actividad; en su página de facebook solo han publicado algunos retos matemáticos ocasionales. ‎ ‎Puede ser casualidad, problemas de financiamiento o cambios internos, pero honestamente sí se siente raro considerando lo activos que eran estos programas hace pocos años. Por eso quería preguntar: ‎ ‎¿Saben si Fundación UNO sigue operando normalmente en Nicaragua? ¿Han reducido o pausado programas educativos en el país? ¿Alguien sabe si han tenido problemas con el gobierno o con permisos para operar? ¿La situación política actual tendrá algo que ver con la baja actividad y la falta de convocatorias?