u/SnooWords9730

当時日本語ができなくて翻訳で読んでたんだ、少なくとも10年以上前の話。詳しい日本の人、教えてほしいんだけど当時ってこういう話は多かった？あの頃の2chってどんな雰囲気だった？

ニュートンは生前、錬金術と微積分、二つの研究に関心を寄せていた。彼の化学が誤りであったことは周知の通りで、るつぼから黄金が生み出せると期待する者はもういない。興味深いことに、彼の数学草稿において微積分全体の土台となっている無限小量もまた、一部の哲学者から、ニュートンの独りよがりな願望、いわば「紙上の錬金術」だと批判されてきた。「すべての正の数より小さく、しかも0より大きいものとは、いったい何なのか」。本稿は超フィルターを用いて無限小量を構成し、黄金を錬成してみせる方法を紹介する。

半順序集合

フィルターは半順序集合の上で定義されるので、まず半順序集合とは何かを理解しておく必要がある。半順序集合とは、ものの集まり（集合）に並べ方のルールを加えたもので、（P, ≼）と書く。P が集合、≼ が並べ方のルールである。集合の要素 a が b より前に来ることを a≼b と書く。このルールは次の三つの条件を満たさなければならない。

1. 自分自身が自分の前に来てよい（a≼a）。
2. a が b の前、かつ b が a の前になることはない。ただし a と b が同一の場合は除く（a≼b, b≼a ⇒ a=b）。
3. a が b の前で、b が c の前なら、a は c の前でなければならない（a≼b, b≼c ⇒ a≼c）。

日本地図を例にとろう。ものの集まりは日本地図上のさまざまな地域とし、ルールは「地域 a が地域 b の中にあるなら、a を b の前に並べる」と定める。このルールが条件を満たすか確かめてみよう。

1. ある地域は当然自分自身を含む。
2. 地域 a が地域 b の中にあり、b も a の中にあるなら、この二つは同じ地域である。
3. a が b の中、b が c の中にあれば、a は当然 c の中にある。よって、これは確かに半順序集合である。

東京≼関東、関東≼日本（したがって 東京≼日本）。大阪≼関西、関西≼日本（したがって 大阪≼日本）。しかし、大阪と東京は互いに比較できない。定めたルールによれば、大阪は東京の中になく、東京も大阪の中にないからである。

もう一つの例は自然数である。a≤b ならば a≼b と定める（≤は「以下」、≼は順序関係）。この例がより特殊なのは、どの二つの自然数も大小を比べて並べることができ、地図の例のように比較できない場合が起こらない点である。この段落で、使う数学の言葉に読者が慣れてくれたなら幸いである。

フィルター

フィルターとは、半順序集合の部分集合 F であって、次の三つの条件を満たすものである。

1. F は空集合でない。
2. 上に閉じている：ある要素がフィルターに属するなら、それより後ろにある要素もフィルターに属さなければならない（a∈F, a≼b ⇒ b∈F）。
3. 下向きに有向：フィルターの任意の二つの要素に対して、その両方より前に来る要素が存在する（a,b∈F ⇒ ∃c∈F, c≼a かつ c≼b）。

有限の半順序集合上のフィルターは図で簡単に表せて、直観も掴みやすい。例：

https://preview.redd.it/91etijvllmsh1.png?width=1920&format=png&auto=webp&s=32e18e63870ac40c967d1c910f192cb019e86541

この図には集合 {1,2,3,4} のすべての部分集合が並んでいる。つまりこの図は {1,2,3,4} の冪集合を表している。集合の冪集合とは、そのすべての部分集合からなる集合のことである。A が B の部分集合（A⊆B）ならば A≼B と定める。つまり {1,2}≼{1,2,3} などである。濃い緑の四つの集合はフィルターをなし、濃い緑と薄い緑を合わせたものもフィルターをなす。しかし薄い緑だけではフィルターにならない。上に閉じているという条件に反するからである。

残念ながら、有限集合上のフィルターにはほとんど応用がない。そこで範囲を広げ、自然数全体の集合 N の冪集合を考えよう。関係は同じく、A⊆B ならば A≼B とする。この集合の上でフィルターをどう構成するか。二つ紹介しよう。一つ目は、まず任意の部分集合 S（たとえば {22}）を選び、S を部分集合として含むすべての部分集合でフィルターを作る方法である。たとえば、22 を含む自然数のすべての部分集合である。

二つ目は、自然数の余有限部分集合全体の集まりを考える方法である。これは、有限個の自然数を除くすべての自然数を含む部分集合、という意味である。これがフィルターかどうか確かめてみよう。

1. 空でないか？ もちろんそうである。
2. 下向きに有向か？ そうである。二つの部分集合 A と B が与えられ、A は点 x1,…,xn を欠き、B は点 y1,…,ym を欠いているとする。x1,…,xn と y1,…,ym の両方を欠く部分集合 C を考える。C は依然として余有限であり、しかも A と B の両方の部分集合である。よって C≼A かつ C≼B である。
3. 上に閉じているか？ そうである。余有限な集合を含む集合は、それ自身も余有限だからである。

したがって、これはフィルターである。

超フィルター

いよいよタイトルの登場である。超フィルターを紹介しよう。

定義：

X を半順序集合とする。

• X 上のフィルターが真フィルターであるとは、それが X 全体ではないことをいう。
• X 上のフィルターが超フィルターであるとは、それが真フィルターであり、かつ、より大きいどの真フィルターにも含まれないことをいう。
• X 上のフィルターが単項フィルターであるとは、ある要素 x ∈ X が存在して、そのフィルターがちょうど x ≼ y を満たすすべての要素 y ∈ X からなる集合になることをいう。

先ほどの例に戻ろう。

https://preview.redd.it/vnatskvllmsh1.png?width=1920&format=png&auto=webp&s=240ae2100563f716be887b0cd3ae7058fbe431fe

濃い緑は「濃い緑＋薄い緑」に含まれているので、濃い緑は超フィルターではない。一方、「濃い緑＋薄い緑」は超フィルターである。これにさらに要素を一つでも加えると、半順序集合全体をフィルターにせざるをえなくなるからだ。濃い緑も「濃い緑＋薄い緑」も単項フィルターである。実際、有限半順序集合のフィルターは単項フィルターしかありえない。形式的な証明は書かないが、直観は簡単で、有限のフィルターには必ず一番前に来る要素があるのである。

では、自然数集合の冪集合に戻ろう。先ほどの、自然数の余有限部分集合の例は、明らかに単項フィルターではない。もし単項フィルターなら、それらすべてに含まれるような自然数の部分集合が存在しなければならないからである。これは超フィルターでもない。より大きなフィルターがあるからだ。有限個を除くすべての偶数を含むような、自然数の部分集合の集まりを考えよう。これは真フィルターだろうか？

1. 空でなく、全体でもないか？　もちろんそうである。
2. 下向きに有向か？　そうである。A、B がともに有限個を除くすべての偶数を含むなら、共通部分 A∩B も有限個を除くすべての偶数を含み、しかももちろん A∩B ≼ A かつ A∩B ≼ B である。
3. 上に閉じているか？　そうである。A が有限個を除くすべての偶数を含み、A が B の部分集合なら、B ももちろん有限個を除くすべての偶数を含む。

したがって、これは新しい真フィルターであり、もとのフィルターを含み、なおかつ新しい要素、たとえば偶数全体の集合も含んでいる。
さらにこれを拡大していくこともできる。有限個を除くすべての 4 の倍数を含む部分集合の集まりを考える。まだ続けられる。有限個を除くすべての 8 の倍数。。有限個を除くすべての16の倍数。。などなど、どこまでも続けていける。

自然数集合の冪集合には、もちろん超フィルターが存在する。22 を含むすべての部分集合の集まりは超フィルターである。これは単項超フィルターである。

しかし、単項超フィルターはまったく役に立たない。半順序集合の構造について何も教えてくれず、無限小を作ることもできない。上の手順をどんどん続けていくと、最終的に得られるのは非単項超フィルターであり、それはもうこれ以上大きくできない状態に行き着く。問題は、一つずつ順番に片付けていくことはできない、という点である。そして、最後までやり遂げられることを保証してくれる原理が、選択公理である。この原理に頼らなければ非単項超フィルターは構成できない。しかも、この原理に頼って構成したものを、意味のある形で書き表すことはできず、ただ確かに存在するということが分かるだけである。大多数の数学者はこの原理を認めている。

要するに、余有限フィルターから出発して上の手順で拡大していく。つまり、自然数の各部分集合について、選択を迫られる。その部分集合が F に属するか、その補集合が F に属するか、どちらかである。最後に得られる超フィルターは必ず非単項である。余有限フィルターはすべての {n} の補集合を含むので、{n} が最終的なフィルター F に入ることはありえない。単項超フィルターは必ずある {n} を含むので、F は単項ではない。

錬金

準備作業がようやく終わった。いよいよ無限小とは何かを定義できる。

実数からなる無限数列全体の集合を考え、R^N と書く。たとえば 0, 1, 2, … はその一つである。√1, √5, 342.4234, … もそうであり、1, −2, 4, −8, 16, −32, … もそうである。他にも無数にある。

次のように定める。二つの数列 a₀, a₁, a₂, … と b₀, b₁, b₂, … が同値であるとは、次が成り立つことをいう。

{i ∈ N | aᵢ = bᵢ} ∈ F。

つまり、二つの数列の第 i 項が等しくなるすべての位置 i を集めると、自然数の部分集合ができる。この部分集合が、私たちが選んでおいた超フィルター F に属するなら、この二つの数列は同値であるとみなす。

この同値を等号とみなすと、どのような集合が得られるだろうか。つまり、この関係の同値類にはどんなものがあるのか。

【同値類】 分数を例にとろう。1/2、2/4、3/6 は書き方が違うが、私たちはどれも同じ数だと考える。厳密にいえば、分数とは整数の組 (a, b) であり、(a, b) と (c, d) が同値であるとは ad = bc であることと定める。すると (1, 2)、(2, 4)、(3, 6) などはすべて互いに同値になる。互いに同値な分数をひとまとめにして一つの山にしたもの、これが一つの同値類であり、私たちが普段「二分の一」と呼んでいるものは、実はこの分数の山全体のことである。つまり、「同値なものを同じものとみなす」ことで得られる新しい対象が同値類である。以下の数列でも同じことをする。ただし、今回ひとまとめにされるのは分数ではなく無限数列である。

この同値類からなる新しい集合を、R^N/F と書く（R^N を F で類別して得られる集合である）。では、その中には結局どんなものが入っているのだろうか。

まず、明らかに異なる種類の要素を見よう。任意の実数 x に対して、定数列 x, x, x, … がある。異なる二つの定数列は、どの位置でも値が異なるので、互いに同値ではない。このことから、次の写像は単射であることが分かる：

x ↦ [x, x, x, …]

ここで角括弧は「その数列が属する同値類」を表す。したがって、もとの実数はこの新しい集合の一部である。

しかし、この新しい集合にはさらに多くのものが含まれている。たとえば数列 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, … はどの定数列とも同値ではない。この数列は任意の定数列と高々一つの項でしか一致しないので、「対応する項が等しい位置」からなる集合は、空集合か、ある {k}（k は自然数）のどちらかになる。どちらの場合も F に属しえない。空集合が属さないのは、F が真フィルターだからであり、{k} が属さないのは、もし属すれば F が単項フィルターになってしまうからである。

この要素こそ私たちが求めていた金であり、無限小の一つで、ϵ と書く。ただしその前に、実数の加法と乗法をこの新しい集合へどう拡張できるかを説明しておかなければならない。

二つの同値類を考える：

x = [x₀, x₁, …]
y = [y₀, y₁, …]

加法と乗法を次のように定める：

x + y = [x₀ + y₀, x₁ + y₁, …]
xy = [x₀y₀, x₁y₁, …]

大小も同様に定める。[x] < [y] とは {i ∈ N | xᵢ < yᵢ} ∈ F であることをいう。xᵢ<yᵢ、xᵢ=yᵢ、xᵢ>yᵢ となる位置の集合は N を三つに分割するので、超フィルターの性質により、ちょうど一つが F に属する。したがって任意の二つの超実数は必ず大小を比べられる。

ε = [1, 1/2, 1/4, …] については、任意の正の実数 r に対し {i | 0 < 1/2ⁱ} = N ∈ F、{i | 1/2ⁱ < r} は余有限なので F に属する。よって 0 < ε < r である。

ただし、いま扱っているのは同値類であり、同じ同値類にもいろいろな書き方がある。数列 x₀, x₁, … と y₀, y₁, … を、それぞれと同値な数列 x′₀, x′₁, … と y′₀, y′₁, … に取り替えたとき、計算結果は変わってしまわないだろうか（分数の足し算で 1/2 + 1/3 と 2/4 + 1/3 が同じ数にならなければならないのと同様に）。

不思議なことに、結果は変わらない。理由は次のとおりである。

• X を、xᵢ = x′ᵢ を満たすすべての i からなる集合とする。
• Y を、yⱼ = y′ⱼ を満たすすべての j からなる集合とする。
• Z を、xₖ + yₖ = x′ₖ + y′ₖ を満たすすべての k からなる集合とする。

これらの数列は同値なので、定義により X、Y はともに F に属する。したがって、それらの共通部分 X ∩ Y も F に属し（下向きに有向であるため）、それゆえ Z も F に属する（上に閉じているため）。よって、x₀ + y₀, x₁ + y₁, … と x′₀ + y′₀, x′₁ + y′₁, … は同値である。乗法についても、ほぼ同様の議論が成り立つ。

この対象は、数学では超実数と呼ばれる。

実数とほとんどそっくりだが、「無限小」、つまり 0 より大きいのにどの正の実数よりも小さい要素がいくつか加わっている。ϵ はそのような無限小の一つだが、唯一のものではない。たとえば 1, 1/3, 1/9, 1/27, … も別の無限小に対応し、それは ϵ よりもさらに小さい。

こうして私たちは、ニュートンの無限小が上の構成によって一分の隙もないものになることを知った。彼が編み出した無限小は、確かに独りよがりな願望ではなかった。

1. 9月8日、OpenAIが、社内のあるモデルがナビエ–ストークス方程式の存在性と滑らかさの問題をすでに解決したと発表した。これはミレニアム懸賞問題の一つ。

2. 『ガヴリールドロップアウト』、私が一番好きな漫画が、9月8日に完結した。

https://preview.redd.it/94ajev6oxcoh1.png?width=885&format=png&auto=webp&s=db742fa47493d1a4a89b2245267e8dc3aa6b7235

https://preview.redd.it/v4q9uujsxcoh1.png?width=1478&format=png&auto=webp&s=1cb26b716d5236fa2f4b469aa08cc7fa4a8e1612

OpenAIのニュースを見たときの最初の反応は、漫画を開くことだった。そして、その後どうなるかをできるだけ深く考えないようにした。だから漫画の完結を目にしたとき、両方向からの圧迫で息が詰まりそうになった。多くは語らない、つらい。