La identitat de Candido, [x² + y² + (x+y)²]² = 2[x⁴ + y⁴ + (x+y)⁴], amb peces d'un quadrat
Un quadrat de costat x² + y² + (x+y)² té exactament el doble d'àrea que tres quadrats de costats x², y² i (x+y)². El vídeo ho ensenya tallant el quadrat gran en peces.
1. La graella
Partim cada costat del quadrat gran en tres franges, x², y² i (x+y)². A la diagonal hi queden tres quadrats: x⁴, y⁴ i (x+y)⁴.
2. Dos quadrats més
Com que (x+y)² = x² + 2xy + y², la franja gran es pot partir en x², 2xy i y². Llavors, a la fila de x² hi cap un segon quadrat de x² per x², i a la fila de y² un segon de y² per y². Ja tenim 2x⁴ + 2y⁴ + (x+y)⁴, més unes quantes peces que sobren.
3. La resta és un altre (x+y)⁴
Les dotze peces que sobren encaixen en un quadrat de costat x² + 2xy + y² = (x+y)²: vuit d'elles hi van tal qual, a les vores. Al centre hi queda un forat de 2xy per 2xy, i les quatre peces que falten són rectangles de x² per y². No el tapen tallant-les, sinó per àrea: 4·x²·y² = (2xy)². (Al vídeo es deformen a àrea constant.)
Queden dues escales idèntiques, i per tant:
[x² + y² + (x+y)²]² = 2·[x⁴ + y⁴ + (x+y)⁴]
Algebraicament
x² + y² + (x+y)² = 2(x² + xy + y²), i x⁴ + y⁴ + (x+y)⁴ = 2(x² + xy + y²)². Els dos costats valen 4(x² + xy + y²)².
Per què hi surt Fibonacci
Giacomo Candido, matemàtic italià, la va fer servir per demostrar que tres termes seguits de la successió de Fibonacci compleixen (Fₙ² + Fₙ₊₁² + Fₙ₊₂²)² = 2(Fₙ⁴ + Fₙ₊₁⁴ + Fₙ₊₂⁴): n'hi ha prou que Fₙ₊₂ = Fₙ + Fₙ₊₁, que és la regla de la successió. Per exemple, amb 2, 3 i 5: (4 + 9 + 25)² = 38² = 1444, i 2·(16 + 81 + 625) = 2·722 = 1444.
Més matemàtiques a Bluesky (@matescat.bsky.social) i a X (@MatesCatala)
.jpg){kind=link}
